Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，以OB1为一边在OB1上方作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为一边在A1B2上方作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为一边在A2B3上方作等边三角形A3A2B3，…，则△A2017B2018A2018的周长是_____．

Answer 1

【答案】3×22017

【解析】分析：先根据直线l：y＝x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），OB1＝1，△OA1B1的周长为3；再过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的坐标为（，），B2（，），则A1B2＝2，△A1B2A2的周长是3×21，A2的坐标为（，），B3（，），则A2B3＝4，△A2B3A3的周长是3×22，进而得到△AnBn＋1An＋1的周长，据此可得△A2017B2018A2018的周长．

详解：∵直线l：y＝x﹣与x轴交于点B1，

∴B1（1，0），OB1＝1，△OA1B1的周长为3；

如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，

则OA＝OB1＝，A1A＝OA＝，

∴A1的坐标为（，），

∵A1B2平行于x轴，

∴B2的纵坐标为，

将y＝代入 y＝x﹣，求得x＝，

∴B2（，），

∴A1B2＝2，△A1B2A2的周长是3×21；

过A2作A2B⊥A1B2于B，

则A1B＝A1B2＝1，A2B＝A1B＝，

∴A2的横坐标为OA＋A1B＝＋1＝，纵坐标为A1A＋A2B＝，

∴A2的坐标为（，），

∵A2B3平行于x轴，

∴B3的纵坐标为，

将y＝代入y＝ y＝x﹣，求得x＝，

∴B3（，），

∴A2B3＝4，△A2B3A3的周长是3×22；

由此可得，△AnBn＋1An＋1的周长是3×2n，

∴△A2017B2018A2018的周长是3×22017．

故答案为3×22017．