Question

18．已知如图，抛物线y=a（x-m）²+n的顶点坐标为M（3，0），它与y轴交于点A（0，3），若直线y=3ax+b过M点与抛物线交于B点．
（1）求此二次函数解析式及一次函数解析式．
（2）连接0B，求△0BM的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据顶点式运用待定系数法求出a的值就可以求出抛物线的解析式，把a的值和M的坐标代入直线解析式就可以求出b的值而求出结论；
（2）两个函数联立方程，求得B点坐标，利用面积计算方法求得答案即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=a（x-m）²+n的顶点为M（3，0），
∴y=a（x-3）²+0．
∵抛物线与y轴交于点A（0，3），
∴3=a（0-3）²，
∴a=$\frac{1}{3}$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{3}$（x-3）²；
∵y=3ax+b，
∴y=3×$\frac{1}{3}$x+b，
∴y=x+b．
∵直线经过M（3，0），
∴0=3+b，
∴b=-3，
∴直线的解析式为：y=x-3．
（2）由题意得
$\frac{1}{3}$（x-3）²=x-3
解得：x=3，或x=6
则B点坐标为（6，3），
△0BM的面积=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，抛物线的顶点式的运用，待定系数法求一次函数的解析式和求二次函数的解析式的运用，解答时根据抛物线的解析式求出a值是关键．