Question

22、如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）求证：四边形OBEC是菱形．

Answer 1

分析：（1）∠AEC是弧AC所对的圆周角，而∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，只要求出∠AOC的度数，则∠AEC的度数可求．
（2）根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，只要先证得四边形OBEC是平行四边形，而OB、OC都是圆的半径，则四边形OBEC是菱形．

解答：解：（1）在△AOC中，AC=2，
∵AO=OC=2，
∴△AOC是等边三角形，（2分）
∴∠AOC=60°，
∴∠AEC=30°．（4分）

证明：（2）∵OC⊥l，BD⊥l，
∴OC∥BD，（5分）
∴∠ABD=∠AOC=60°；
∵AB为⊙O的直径，
∴△AEB为直角三角形，∠EAB=30°，（7分）
∴∠EAB=∠AEC，
∴CE∥AB，
∴四边形OBEC为平行四边形；（8分）
又∵OB=OC=2，
∴四边形OBEC是菱形．（9分）

点评：本题主要考查了等边三角形的判定、圆周角与圆心角的关系，平行四边形的判定及菱形的判定．