Question

3．如图1，△AO0和△COD都是等腰直角三角形，且∠A0B=∠COD=90°．△COD可绕点O任意旋转．

（1）求证：BD=AC；
（2）如图2，将△COD绕点O旋转的过程中，当B、D、C三点在同一直线上时，求∠ACB的度数；
（3）在旋转的过程中，设直线BD与直线AC交于点E，∠AEB的度数是否会随旋转的变化而变化？若不变，求出△AEB的度数；若改变，求出∠AEB的变化范围．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质可以得出∠AOC=∠BOD，再利用边角边就可以得出△AOC≌△BOD，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，得出∠OAC+∠OAB+∠ABC=90°，由三角形内角和定理即可求出∠ACB的度数；
（3）由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得出∠AFE=∠OAB+∠ABE，求出∠OAC+∠AFE=∠OAB+∠OBA=90°，由三角形内角和定理即可得出结果．

解答 （1）证明：
∵△ABO和△CDO都是等腰直角三角形，
∴CO=DO，AO=BO，∠COD=∠AOB=90°，∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠AOC+AOD=∠BOD+∠AOD=90°，
∴∠AOC=∠BOD．
在△AOC和△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{CO=DO}&{\;}\\{∠AOC=∠BOD}&{\;}\\{AO=BO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴BD=AC．
（2）解：由（1）得：△AOC≌△BOD，
∴∠OAC=∠OBD，
∴∠OAC+∠OAB+∠ABC=∠OBD+∠ABC+∠OAB=∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠ACB=180°-90°=90°；
（3）解：∠AEB的度数不变化，∠AEB=90°；理由如下：
如图所示：由（1）得：△AOC≌△BOD，
∴∠OAC=∠OBD，
∵∠AFE=∠OAB+∠ABE，
∴∠OAC+∠AFE=∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠AEB=180°-90°=90°．

点评 本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．