Question

等边△ABC中，BD平分∠ABC，延长BC到E，使CE=CD，连接D、E．
（1）求∠E的度数；
（2）小成同学说：BD=DE，她说的对吗？请你说明道理．
（3）把“BD平分∠ABC”改成什么条件，也能得到同样的结论？

Answer 1

分析：（1）由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三边长相等，三内角为60°，再由BD为角平分线，得到∠CBD为30°，而∠ACB为三角形CDE的外角，且CE=CD，利用外角性质及等边对等角得到∠E为30°；
（2）小成同学的说法正确，理由为：由（1）得出∠CBD=∠E=30°，利用等角对等边得到BD=DE；
（3）把“BD平分∠ABC”改成BD⊥AC或BD为AC边上的中线，也能得到同样的结论，理由为：由AB=BC，BD⊥AC或BD为AC边上的中线，利用三线合一得到BD平分∠ABC，同理即可得到同样的结论．

解答：解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵DC=EC，
∴∠DCE=∠E，
∵∠ACB为△DCE的外角，
∴∠ACB=∠DCE+∠E=2∠E，
则∠E=

1

2

∠ACB=30°；
（2）小成同学的说法正确，理由为：
证明：∵∠CBD=∠E=30°，
∴DB=DE；
（3）把“BD平分∠ABC”改成BD⊥AC或BD为AC边上的中线，也能得到同样的结论，
理由为：由AB=BC，BD⊥AC或BD为AC边上的中线，
利用三线合一得到BD平分∠ABC，同（1）（2）得到∠E=30°；DB=DE．

点评：此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．