如图.△OAB中.∠AOB=90°.AO=1.BO=2．以AO为x轴.BO为y轴建立平面直角坐标系.O为原点．二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A.B．(1)求这个二次函数的解析式和顶点D的坐标,(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后.点B落到点C的位置．将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C．设平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B1.顶� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

如图，△OAB中，∠AOB=90°，AO=1，BO=2．以AO为x轴，BO为y轴建立平面直角坐标系，O为原点．二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A，B．
（1）求这个二次函数的解析式和顶点D的坐标；
（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置．将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C．设平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B₁，顶点为D₁．点P在平移后的二次函数图象上，且满足△PBB₁的面积是△PDD₁面积的2倍，求点P的坐标．

分析（1）由坐标系的画法可知A、B点的坐标，根据待定系数法可以求出二次函数的解析式，将二次函数变形为顶点式即可找出顶点的坐标；
（2）由旋转的性质可以找出点C的坐标，将点C的横坐标代入原二次函数解析式判断C点在二次函数图象的上方还是下方，经判断点C在抛物线下方1个单位处，故抛物线需往下平移一个单位，由此可得出平移后的二次函数的解析式与BB₁和DD₁的长度，设出P点坐标，由△PBB₁的面积是△PDD₁面积的2倍可得知P点到BB₁距离为点P到DD₁距离的2倍，由点到直线的距离可得出关于P点横坐标的一元一次方程，讨论后即可得出结论．

解答解：（1）∵AO=1，BO=2，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2）．
∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A，B，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=1+b+c}\\{2=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=2}\end{array}\right.$．
故二次函数的解析式为y=x²-3x+2．
∵y=x²-3x+2=${（x-\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，
∴顶点D的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{4}$）．
（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，点O落在O′的位置，如图所示．

由旋转的特性可知：AO′=1，O′C=2，且O′C∥x轴，AO′∥y轴，
∴点C的坐标为（3，1）．
令x=3，则有y=3²-3×3+2=2，
∵2＞1，且2-1=1，
∴二次函数图象要想过点C需沿y轴向下平移1个单位，
∴BB₁=1，DD₁=1，y=${（x-\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$-1=x²-3x+1．
∵二次函数图象沿y轴平移，
∴直线BB₁的解析式为x=0，直线DD₁的解析式为x=$\frac{3}{2}$，即DD₁的解析式为x-$\frac{3}{2}$=0．
设点P的坐标为（m，m²-3m+1），
∵△PBB₁的面积是△PDD₁面积的2倍，
∴点P到BB₁距离为点P到DD₁距离的2倍．
由点到直线的距离公式可知：|m|=2×|m-$\frac{3}{2}$|，
当m≤0时，有-m=2×（-m+$\frac{3}{2}$），
解得：m=3（舍去）；
当＜m≤$\frac{3}{2}$时，有m=2×（$\frac{3}{2}$-m），
解得：m=1，此时P点的坐标为（1，-1）；
当$\frac{3}{2}$＜m时，有m=2×（m-$\frac{3}{2}$），
解得：m=3，此时P点的坐标为（3，1）．
故满足条件的点P的坐标为（1，-1）或（3，1）．

点评本题考查了待定系数法求解析式、旋转的性质以及点到直线的距离，解题的关键是：（1）找出A、B点的坐标；（2）设出P点的坐标，由点到直线的距离列出关于P点横坐标的一元一次方程．本题属于中档题，（1）难度不大，（2）需要先判定二次函数需要上移还是下移，在结合点到直线的距离结合三角形的面积公式得出方程．