Question

12．如图，正方形ABCB₁中，AB=1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB₁交直线l于点A₁，作正方形A₁B₁C₁B₂，延长C₁B₂交直线l于点A₂，作正方形A₂B₂C₂B₃，延长C₂B₃交直线l于点A₃，作正方形A₃B₃C₃B₄，…，依此规律，则A₂₀₁₅A₂₀₁₆=2（$\sqrt{3}$）²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 由四边形ABCB₁是正方形，得到AB=AB₁，AB∥CB₁，于是得到AB∥A₁C，根据平行线的性质得到∠CA₁A=30°，解直角三角形得到A₁B₁=$\sqrt{3}$，AA₁=2，同理：A₂A₃=2（$\sqrt{3}$）²，A₃A₄=2（$\sqrt{3}$）³，找出规律A_nA_n+1=2（$\sqrt{3}$）ⁿ，答案即可求出．

解答 解：∵四边形ABCB₁是正方形，
∴AB=AB₁，AB∥CB₁，
∴AB∥A₁C，
∴∠CA₁A=30°，
∴A₁B₁=$\sqrt{3}$，AA₁=2，
∴A₁B₂=A₁B₁=$\sqrt{3}$，
∴A₁A₂=2$\sqrt{3}$，
同理：A₂A₃=2（$\sqrt{3}$）²，
A₃A₄=2（$\sqrt{3}$）³，
…
∴A_nA_n+1=2（$\sqrt{3}$）ⁿ，
∴A₂₀₁₅A₂₀₁₆=2（$\sqrt{3}$）²⁰¹⁵，
故答案为：2（$\sqrt{3}$）²⁰¹⁵．

点评 本题考查了正方形的性质，含30°直角三角形的性质，平行线的性质，熟记各性质并求出后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的$\sqrt{3}$倍是解题的关键．