题目内容
【题目】如图，在菱形ABCD中，对角线
相交于点M，已知
，点E在射线
上，
，点P从点B出发，以每秒
个单位的速度沿BD方向向终点D匀速运动，过点
作
交射线于点
，以
为邻边构造平行四边形
，设点的运动时间为
；
（1）
；
（2）求点
落在
上时
的值；
（3）求平行四边形与
重叠部分面积S与之间的函数关系式；
（4）连接平行四边形的对角线
，设与
交于点
，连接
，当与
的边平行（不重合）或垂直时，直接写出的值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，S＝
，S=
；（4）t值为或
或
或2．
【解析】
（1）如图，作DH⊥BE于H，解直角三角形求出BH，DH即可．
（2）如图由PF∥CB，可得
，构造方程即可解得．
（3）分三种情况，当0＜t≤时，重叠部分为平行四边形PBQF；当＜t≤1时，重叠部分为五边形PBQRT；当1＜t≤2时，重叠部分为四边形PBCT,分别求解解决即可．
（4）分四种情况：当MN∥AB时，设CM交BF于T；当MN⊥BC时；当MN⊥AB时；当P点与D点重合时，MN∥BC，分别就出即可．
解：（1）如图做DH⊥BE于H,
在Rt△BCD中，
∵DHC=
，CD=5
tan∠DCH=
∴DH=4，CH=3
∴BH=BC+CH=5+3=8
∴tan∠DBE=
=
（2）如下图
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∵BC=5，tan∠CBM=
∴CM=
，BM=DM=
∵PF∥CB
∴
∴
解得t=．
（3）如下图
当0＜t≤，重叠部分为平行四边形PBQF，
S=PB×PQ=
如下图，
当＜t≤1时，重叠部分是五边形PBQRT，
S=
=．
如下图
当1＜t≤2时，重叠部分是四边形PBCT
S=
=
（4）如下图，当MN∥AB时，设CM交BF于T
∵PN∥MT
∴
∴
∴MT=
∵MN∥AB
∴
∴
∴
∴t=；
如下图
当MN⊥BC时，易知点F在DH上
∵PF∥BH，
∴
∴
解得t=；
如下图
当MN⊥AB时，易知∠PNM=∠ABD
可得tan∠PNM=
∴
解得t=
当点P与点D重合时，MN∥BC，此时t=2
综上所述，满足条件的t值为或或或2．
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