Question

如图，已知：边长为1的正方形ABCD顶点都在⊙O上，P为边CD的中点，直线AP交圆于E点．求弦DE的长．

Answer 1

解：如图，设圆心为O，连接OD、OE，过点O作OF⊥DE于F，
由圆周角定理得，∠DAF=∠DOE，
由垂径定理可得，∠DOF=∠DOE，DE=2DF，
又∵∠ADC=∠OFD=90°，
∴△ADP∽△OFD，
∴=，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴OD=×=，
∵P是CD的中点，
∴DP=，
根据勾股定理，AP==，
∴=，
解得DF=，
∴DE=2DF=2×=．
分析：设圆心为O，连接OD、OE，过点O作OF⊥DE于F，根据圆周角定理可得∠DAF=∠DOE，根据垂径定理可得∠DOF=∠DOE，DE=2DF，然后求出△ADP和△OFD相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，再根据正方形的性质求出OD，利用勾股定理列式求出AP，然后代入比例式进行计算即可求出DF，然后求出DE．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，正方形的性质，作辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．