Question

如图，已知：边长为1的圆内接正方形ABCD中，P为边CD的中点，直线AP交圆于E点．
（1）求弦DE的长．
（2）若Q是线段BC上一动点，当BQ长为何值时，三角形ADP与以Q，C，P为顶点的三角形相似？

Answer 1

分析：（1）过D点作DF⊥AE于F点．则△DEF是等腰直角三角形，根据△ADP的面积就可以求出DF，则根据勾股定理得到DE．
（2）△ADP与以Q，C，P为顶点的三角形相似，应分Rt△ADP∽Rt△PCQ和Rt△ADP∽Rt△PCQ两种情况进行讨论．根据相似三角形的对应边的比相等，得到BQ的长．

解答：解：（1）如图1．过D点作DF⊥AE于F点．
在Rt△ADP中，AP=

AD2+DP2

=

5

2

（1分）
又∵S_△ADP=

1

2

AD•DP=

1

2

AP•DF
∴DF=

5

5

（2分）
∵

AD

的度数为90°
∴∠DEA=45°
∴DE=

2

DF=

10

5

（4分）


（2）如图2．
当Rt△ADP∽Rt△QCP时有

AD

QC

=

DP

CP

得：QC=1．
即点Q与点B重合
∴BQ=0（5分）
如图3，当Rt△ADP∽Rt△PCQ时，有

AD

PC

=

PD

QC

得QC=

1

4

即BQ=BC-CQ=

3

4

（7分）
∴当BQ=0或BQ=

3

4

时，三角形ADP与以点Q，C，P为顶点的三角形相似．（8分）

点评：此题主要考查相似三角形的判定方法，勾股定理及正多边形与圆的关系等知识点的综合运用．