Question

（2013•门头沟区二模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，BC⊥AC，AC与BD交于点E，AD=6，CE=

4

7

3

，tan∠BEC=

7

3

3

，求BC、DE的长及四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：过点D作DF⊥AC于F，构造Rt△ADF，然后利用三角函数求出EF、AC、DE的长，再计算出S_△ACD和S_△ACB
，即为S_{四边形ABCD}．

解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F．
∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC=30°．
∵BC⊥AC，
∴∠AFD=∠ACB=90°．
∴DF=

1

2

AD=

1

2

×6=3，
BC=CE•tan∠BEC=

4

7

3

×

7

3

3

=4．
∴EF=

DF

tan∠DEF

=

DF

tan∠BEC

=3÷

7

3

3

=

3

7

3

．AC=

BC

tan∠BAC

=

4

tan30°

=4÷

3

3

=4

3

．
∴DE=

DF2+EF2

=

32+( 3 7 3 )2

=

6

7

13

．
∴S_{四边形ABCD}=S_△ACD+S_△ACB
=

1

2

AC•DF+

1

2

AC•BC=

1

2

×4

3

×3+

1

2

×4

3

×4=14

3

．

点评：本题考查了解直角三角形和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．