Question

12．如图，已知矩形ABCD，点E在边AD上，点F在边AB上，CE⊥EF．
（1）若AB：BC=$\sqrt{3}$：2，请写出图中所有的相似三角形．
（2）若图中所有的三角形都相似，求AB：BC．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形，于是得到∠A=∠D=90°，根据CE⊥EF，得到∠AFE=∠DEC，即可得到结论；
（2）由题意得∠AFE=∠BFC=∠EFC=60°，∠FCB=∠ECF=∠ECD=30°，设AF=a，解直角三角形于是得到EF=2a，CF=4a，BC=2$\sqrt{3}$a，即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵CE⊥EF，
∴∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
∴△AEF∽△DCE；

（2）由题意得：∠AFE=∠BFC=∠EFC=60°，∠FCB=∠ECF=∠ECD=30°，
设AF=a，则EF=2a，CF=4a，BC=2$\sqrt{3}$a，
∴AB：BC=3a：2$\sqrt{3}$=3：2$\sqrt{3}$，
∴若图中所有的三角形都相似，AB：BC=3：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质，矩形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．