Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）直线y＝﹣x﹣2与该抛物线在第四象限内交于点D，与x轴交于点F，连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，求证：△AGF≌△CGD；

（3）直线y＝m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点M关于y轴的对称点为点M′，点H的坐标为（1，0），若四边形NHOM′的面积为，求点H到OM′的距离d．

Answer 1

【答案】(1) y＝x2﹣x﹣3,C(0,-3);(2)见解析;(3)

【解析】

（1）根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，可得抛物线的解析式；

（2）根据F（-2，0），A（-1，0），可得AF=1，再根据点D的坐标为（1，-3），点C的坐标为（0，-3），可得CD∥x轴，CD=1，再根据∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，即可判定△AGF≌△CGD；

（3）根据轴对称的性质得出OH=1=M'N，进而判定四边形OM'NH是平行四边形，再根据四边形OM'NH的面积为，求得OP=，再根据点M的坐标为（，），得到PM'＝ Rt△OPM'中，运用勾股定理可得OM'=，最后根据OM'×d=，即可得到d=．

（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，

∴，

解得，

∴该抛物线的解析式y＝x2﹣x﹣3．

令x＝0，则y＝﹣3，

∴C（0，﹣3）；

（2）证明：∵直线EF的解析式为y＝﹣x﹣2，

∴当y＝0时，x＝﹣2，

∴F（﹣2，0），OF＝2，

∵A（﹣1，0），

∴OA＝1，

∴AF＝2﹣1＝1，

由解得，，

∵点D在第四象限，

∴点D的坐标为（1，﹣3），

∵点C的坐标为（0，﹣3），

∴CD∥x轴，CD＝1，

∴∠AFG＝∠CDG，∠FAG＝∠DCG，

在△AGF与△CGD中

∴△AGF≌△CGD（ASA）；

（3）∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝，直线y＝m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N，

∴点M、N关于直线x＝对称，

设N（t，m），则M（1﹣t，m），

∵点 M关于y轴的对称点为点M'，

∴M'（t﹣1，m），

∴点M'在直线y＝m上，

∴M'N∥x轴，

∴M'N＝t﹣（t﹣1）＝1，

∵H（1，0），

∴OH＝1＝M'N，

∴四边形OM'NH是平行四边形，

设直线y＝m与y轴交于点P，

∵四边形OM'NH的面积为，

∴OH×OP＝1×m＝，即m＝，

∴OP＝，

当x2﹣x﹣3＝时，

解得x1＝﹣，x2＝，

∴点M的坐标为（﹣，），

∴M'（，），即PM'＝，

∴Rt△OPM'中，OM'＝＝，

∵四边形OM'NH的面积为 ，

∴OM'×d＝，

∴d＝．