Question

19．设方程4x²-7x-3=0的两根为x₁、x₂，不解方程，求下列各式的值：
（1）${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$
（2）（x₁-3）（x₂-3）
（3）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}+x}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}+1}$
（4）|x₁-x₂|

Answer 1

分析 先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{7}{4}$，x₁x₂=-$\frac{3}{4}$，再利用代数式变形得到${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，（x₁-3）（x₂-3）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}+x}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}+1}$=${\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}+1}}_{\;}$，|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=$\frac{7}{4}$，x₁x₂=-$\frac{3}{4}$，
（1）${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（$\frac{7}{4}$）²-2×（-$\frac{3}{4}$）=$\frac{73}{16}$；
（2）（x₁-3）（x₂-3）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=-$\frac{3}{4}$-3×$\frac{7}{4}$+9=1；
（3）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}+x}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}+1+{{x}_{1}}^{2}+1}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=${\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}+1}}_{\;}$=$\frac{（\frac{7}{4}）^{2}-2×（-\frac{3}{4}）+2}{-\frac{3}{4}+\frac{7}{4}+1}$=$\frac{105}{32}$；
（4）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{7}{4}）^{2}-4×（-\frac{3}{4}）}$=$\frac{97}{4}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．