Question

如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，∠ECD=∠BCA=90°，∠E=30°，D为AB的中点，BC=

3

，若△DEC绕点D顺时针旋转得到△DE′C′，若DE′，DC′分别与Rt△ABC的直角边BC相交于M，N，则当△DMN为等边三角形时，BN的长为

 

．

Answer 1

分析：根据全等的性质得到∠B=30°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DC=DA=DB，由于BC=

3

，利用含30°的直角三角形三边的关系得到AC=

3

3

BC=1，则AB=2AC=2，于是BD=1，
由△DMN为等边三角形得∠DNM=60°，利用三角形外角性质可计算得到∠NDB=∠DNB-∠B=60°-30°=30°，则ND=NB；过N作NH⊥BD于H，则BH=

1

2

BD=

1

2

，而∠B=30°，利用含30°的直角三角形三边的关系可先得到NH，再得到BN．

解答：解：∵Rt△ABC≌Rt△DEC，∠ECD=∠BCA=90°，∠E=30°，D为AB的中点，
∴∠B=30°，DC=DA=DB，
而BC=

3

，
∴AC=

3

3

BC=1，
∴AB=2AC=2，
∴BD=1，
∵△DEC绕点D顺时针旋转得到△DE′C′，DE′，DC′分别与Rt△ABC的直角边BC相交于M，N，则当△DMN为等边三角形，
∴∠DNM=60°，
∴∠NDB=∠DNB-∠B=60°-30°=30°，
∴ND=NB，
过N作NH⊥BD于H，如图，
在Rt△BNH中，BH=

1

2

BD=

1

2

，∠B=30°，
∴NH=

3

3

BH=

3

6

，
∴BN=2NH=

3

3

．
故答案为

3

3

．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等．也考查了等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系以及直角三角形斜边上的中线性质．