Question

已知：△ABC中，∠C=60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，F是AB的中点，
（1）证明：△DEC∽△ABC；  
（2）若AB=4，求S_△DEF．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明A、B、D、E四点共圆，得到∠DEC=∠ABC，结合∠C=∠C，即可解决问题．
（2）证明AB=2DE，这是解决问题的关键性结论；证明AB=2EF=2DF，得到DE=DF=EF，即可解决问题．

解答：解：（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠EBC=∠DAC=90°-∠C，
∴A、B、D、E四点共圆，
∴∠DEC=∠ABC，而∠C=∠C，
∴△DEC∽△ABC．
（2）∵∠DAC=90°-60°=30°，
∴AC=2DC；
∵△DEC∽△ABC，
∴

DE

AB

=

DC

AC

=

1

2

，
∴AB=2DE；
∵F是AB的中点，且∠ADB=∠AEB=90°，
∴AB=2EF=2DF，而AB=4
∴DE=DF=EF=2，△DEF是等边三角形，
∴S△DEF=

1

2

DE•DF•sin60°=

3

．

点评：该题以三角形为载体，主要考查了相似三角形的判定及其性质、四点共圆等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握相似三角形的判定及其性质、四点共圆的判定等几何知识点．