Question

15．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，△ABE、△ACF都是等边三角形，求证：
（1）△ADE∽△CDF；
（2）△DEF∽△ABC．

Answer 1

分析 （1）利用已知和等边三角形的性质得出∠DAE=∠DCF，证出△ABC∽△DAC，得出$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{CD}$，证出$\frac{AE}{AD}=\frac{CF}{CD}$，即可得出结论；
（2）由相似三角形的性质得出$\frac{DE}{DF}=\frac{AD}{CD}$，∠ADE=∠CDF，得出$\frac{DE}{DF}$=$\frac{AB}{AC}$，证出∠EDF=90°=∠BAC，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°=∠BAC，∠ABD+∠BAD=∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAD，
∵△ABE和△ACF都是正三角形，
∴∠BAE=∠ACF=60°，AE=AB，CF=AC，
∴∠DAE=∠DCF，
∵∠ACD=∠BCA，
∴△ABC∽△DAC，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{CD}$，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{CF}{CD}$，
∴△ADE∽△CDF；
（2）∵△ADE∽△CDF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AD}{CD}$，∠ADE=∠CDF，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°，
即∠EDF=90°=∠BAC，
∴△DEF∽△ABC．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明△ABC∽△DAC是解决问题的关键．