题目内容
【题目】如图，直线
与
轴、
轴分别交于
、
两点，抛物线
经过、两点，与轴的另一个交点为
，连接
．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）点 
在抛物线上，连接 
，当 
时，求点的坐标；
（3）点
从点出发，沿线段
由向运动，同时点
从点出发，沿线段由向运动， 、的运动速度都是每秒
个单位长度，当点到达点时，、同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点
，使、运动过程中的某一时刻，以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
，
或
（3）
或
或
【解析】
（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点C的坐标；
（2）满足条件的点M有两种情形，需要分类讨论：
①当BM⊥BC时，如答图2-1所示；
②当BM与BC关于y轴对称时，如答图2-2所示．
（3）△CPQ的三边均可能成为菱形的对角线，以此为基础进行分类讨论：
①若以CQ为菱形对角线，如答图3-1．此时BQ=t，菱形边长=t；
②若以PQ为菱形对角线，如答图3-2．此时BQ=t，菱形边长=t；
③若以CP为菱形对角线，如答图3-3．此时BQ=t，菱形边长=5-t．
解：
直线解析式
，
令
，得
；
令
，得
．
∴
、
．
∵点
、
在抛物线
上，
∴
，
解得
，
∴抛物线解析式为：
．
令
，
解得：
或，
∴．
，
设
，
①当
时，如答图
所示．
∵
，
∴，故点
满足条件．
过点
作
轴于点
，则
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴直线
的解析式为：
．
联立与，
得：
，
解得：
，
，
∴
，
，
∴
；
②当
与
关于
轴对称时，如答图
所示．
∵
，
，
∴，
故点满足条件．
过点
作
轴于点，
则
，
，
∴．
∵
，
∴
，
∴直线
的解析式为：
．
联立与得：
，
解得：，
，
∴，
，
∴
．
综上所述，满足条件的点的坐标为：或．
设
，则
，
，
．
假设存在满足条件的点
，设菱形的对角线交于点，设运动时间为
．
①若以
为菱形对角线，如答图
．此时
，菱形边长
．
∴
．
在
中，
，
解得
．
∴
．
过点
作
轴于点
，
则
，
，
∴
．
∴
．
∵点
与点横坐标相差个单位，
∴
；
②若以
为菱形对角线，如答图
．此时，菱形边长．
∵
，
∴
，点为中点，
∴
．
∵点
与点横坐标相差个单位，
∴
；
③若以
为菱形对角线，如答图
．此时，菱形边长
．
在
中，
，
解得
．
∴
，
．
∴
．
综上所述，存在满足条件的点，点坐标为：或或．
