题目内容

如图，边长为1的正△ABC，分别以顶点A、B、C为圆心，1为半径作圆，则这三个圆所覆盖的图形面积为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：连CD，BD，AC与BD交于点E，每两个圆的公共部分面积等于2个弓形BD的面积，而每个弓形的面积等于扇形CDB的面积减去△BDC的面积，而三个圆公共部分面积为三个弓形AB的面积加△ABC的面积，最后求三个圆所覆盖的图形面积即三个圆的面积减去三个两圆的公共部分面积，再加上一个三个圆公共部分面积．
解答：

解：连CD，BD，AC与BD交于点E，如图，
∵△ABC为边长为1的等边三角形，
∴∠ACB=60，∠BCD=120°，S_△BCD=S_△ABC= $\text{[math]}$ ×1²= $\text{[math]}$ ；
每两个圆的公共部分面积等于2个弓形BD的面积，而每个弓形的面积等于扇形CDB的面积减去△BDC的面积，
∴每两个圆的分共部分面积为2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ ，
三个圆公共部分面积为三个弓形AB的面积加△ABC的面积，
∴三个圆公共部分面积为3× $\text{[math]}$ -2× $\text{[math]}$ =3× $\text{[math]}$ ，
∴三个圆覆盖的面积为3π-3（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选A．
点评：本题考查了扇形的面积公式：S= $\text{[math]}$ ，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S= $\text{[math]}$ lR，l为扇形的弧长，R为半径．同时考查了三角形的面积公式以及弓形面积的求法．