Question

3．⊙O₁过半径为3cm的⊙O₂的圆心O₂，圆O₁的弦AB切⊙O₂于点C，AO₂=15，BO₂=4，求⊙O₁的半径．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，进而利用切线的性质得出CO₂的长，再利用垂径定理以及相交弦定理、勾股定理得出⊙O₁的半径．

解答 解：如图所示：连接O₂C，并延长交⊙O₁于点H，作O₁J⊥O₂H于点J，O₁K⊥AB于点K，
∵⊙O₂的半径为3cm，
∴CO₂=3cm，
∵AO₂=15，BO₂=4，
∴AC=$\sqrt{{O}_{2}{A}^{2}-{O}_{2}{C}^{2}}$=6$\sqrt{6}$（cm），
BC=$\sqrt{{O}_{2}{B}^{2}-{O}_{2}{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$（cm），
∵AC•BC=HC•CO₂，
∴HC=$\frac{6\sqrt{6}×\sqrt{7}}{3}$=2$\sqrt{42}$（cm），
O₁J=KB-CB=$\frac{1}{2}$（6$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$）-$\sqrt{7}$=（3$\sqrt{6}$-$\frac{\sqrt{7}}{2}$）cm，
JO₂=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{42}$+3）=（$\sqrt{42}$+$\frac{3}{2}$）cm，
∴O₁O₂=$\sqrt{{O}_{1}{J}^{2}+{O}_{2}{J}^{2}}$=10（cm），
故⊙O₁的半径为10cm．

点评 此题主要考查了切线的性质、垂径定理以及相交弦定理、勾股定理等知识，正确得出HC的长是解题关键．