Question

2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD平分∠ACB，分别交⊙O、AB于点D，E，P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，BC：AD=1：$\sqrt{2}$，求图中阴影部分的面积；
（3）若CE：DE=1：$\sqrt{2}$，求tan∠BCP的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由角的关系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直线PC与⊙O相切．
（2）连接BD，由圆周角定理得出AD=BD，进一步得出AB=$\sqrt{2}$AD，解直角三角形求得∠BAC=30°，∠BOC=60°，从而求得PC的长，然后根据S_阴影=S_△POC-S_扇形OBC即可求得；
（3）连接OD，作CF⊥AB于F，则OD∥CF，得出三角形相似，根据相似三角形的性质从而求得OF与半径的关系，设半径为x，则CF=OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，从而得出AF=x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，解直角三角形求得tag∠BAC=$\sqrt{2}$-1，根据∠BAC=∠BCP，即可求得tan∠BCP=$\sqrt{2}$-1．

解答 （1）证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠OCA，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECB，
∴∠PCB=∠CAO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，
即OC⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切．
（2）解：连接BD，
∵BC：AD=1：$\sqrt{2}$，
∴AD=$\sqrt{2}$BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$AD，
∴AB=2BC，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OC⊥PC，
∴∠P=30°，
∴OP=2OC=6，
∴PC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OP=3$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_△POC-S_扇形OBC=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×3-$\frac{60π×{3}^{2}}{360}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3π}{2}$；
（3）连接OD，作CF⊥AB于F，
∵AD=BD，OA=OB，
∴OD⊥AB，
∴OD∥CF，
∴$\frac{CF}{OD}$=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵OC=OD，
∴$\frac{CF}{OC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠COF=45°，
∴△COF是等腰直角三角形，
∴CF=OF，
设半径为x，则OA=OC=x，
∴CF=OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴AF=x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴tag∠BAC=$\frac{CF}{AF}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）x}$=$\sqrt{2}$-1，
∵∠BAC=∠BCP，
∴tan∠BCP=$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了切线的判定以及扇形的面积，作出辅助线构建等腰三角形和直角三角形是解题的关键．