Question

12．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．问：
（1）找出图中所有的等腰三角形，并加以证明；
（2）线段BD、CE、DE之间存在着怎样的数量关系？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，因此可判断出△BDF和△CEF为等腰三角形；
（2）由（1）可得出DF=BD，CE=EF，所以得BD-CE=DE．

解答 （1）解：图中有2个等腰三角形即△BDF和△CEF，
∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCM，
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCM，
∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，
∴BD=FD，EF=CE，
∴△BDF和△CEF为等腰三角形；

（2）存在：BD-CE=DE，
证明：∵DF=BD，CE=EF，
∴BD-CE=FD-EF=DE．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明．