Question

16．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{20}$x²+5（长度单位：m）
（1）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/m²，求购买地毯需多少元？
（2）在拱桥加固维修时，在高度为1.8m及以上时，需搭建的“脚手架”，“脚手架”横截面为矩形EFGH（E，F在AB上，H、G分别在抛物线的左右侧上，高FG≥1.8m），求“脚手架”横截面所在矩形EFGH的最大周长．

Answer 1

分析 （1）根据解析式求出A，B，C三点坐标，求出地毯的总长度，再根据地毯的价格求出购买地毯需要的钱．
（2）利用HE=FG=y=-$\frac{1}{20}$x²+5，GH=EF=2x，即可得出HE+FG+2GH与x的函数关系，进而求出最值即可．

解答 解：（1）由y=-$\frac{1}{20}$x²+5知，OC=5m，
令y=0，即y=-$\frac{1}{20}$x²+5=0，
解得x₁=10，x₂=-10（舍去）；
∴地毯的总长度为：AB+2OC=20+2×5=30m，
∴30×1.5×20=900元
答：购买地毯需要900元．

（2）设F（x，0）则G（x，-$\frac{1}{20}$x²+5），
∴HE=FG=-$\frac{1}{20}$x²+5，GH=EF=2x，
∴HE+FG+GH+EF=-$\frac{1}{10}$x²+10+4x
=-$\frac{1}{10}$（x-20）²+50（0＜x≤8），
∵-$\frac{1}{10}$＜0，
∴x=8时有最大值为35.6．
答：“脚手架”横截面所在矩形EFGH的最大周长是35.6m．

点评 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=$-\frac{b}{2a}$时取得．