Question

9．如图，反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB=$\frac{3}{2}$．
（1）求m的值；
（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE的函数表达式；
（3）若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，问线段AN与线段ME的大小关系如何？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△AOB中利用条件可求得A点坐标，利用待定系数法可求得m的值；
（2）可先求得E点纵坐标，代入反比例函数解析式可求得E点坐标，利用待定系数法可求得直线AE解析式；
（3）由直线AE解析式可求得M、N的坐标，利用勾股定理可求得线段AN和ME的长度，比较可求得其大小关系．

解答 解：
（1）∵B（2，0），
∴OB=2，
∵tan∠AOB=$\frac{AB}{OB}$=$\frac{3}{2}$，
∴AB=3，
∴A（2，3），
∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象经过线段OA的端点A，
∴m=2×3=6；
（2）∵A（2，3），B（2，0），
∴线段AB的中点纵坐标为$\frac{3}{2}$，
∵将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，
∴线段CD的中点E的纵坐标为$\frac{3}{2}$，
由（1）可知反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$，当y=$\frac{3}{2}$时，可得$\frac{3}{2}$=$\frac{6}{x}$，解得x=4，
∴E（4，$\frac{3}{2}$），
设直线AE解析式为y=kx+b，
把A、E坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{4k+b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AE的函数表达式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$；
（3）相等．理由如下：
在y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$中，令x=0可得y=$\frac{9}{2}$，令y=0可解得x=6，
∴M（6，0），N（0，$\frac{9}{2}$），且A（2，3），E（4，$\frac{3}{2}$），
∴AN=$\sqrt{{2}^{2}+（3-\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，ME=$\sqrt{（6-4）^{2}+（0-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴AN=ME．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平移的性质、三角函数的定义、勾股定理等知识．在（1）中利用三角函数的定义求得A点坐标是解题的关键，在（2）中求得E点坐标是解题的关键，在（3）中分别求得M、N的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．