Question

（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝2，OC＝4，⊙M与轴相切于点C，与轴交于A，B两点，∠ACD＝90°，抛物线经过A，B，C三点．

（1）求证：∠CAO＝∠CAD；

（2）求弦BD的长；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P使ΔPBC是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）8；（3）存在，符合条件的点P有四个，坐标分别为，，，．

【解析】

试题分析：（1）利用切线的性质得出∠MCO＝90°，进而得出∠OCA＝∠MCD＝∠MDC，再利用∠OCA＋∠OAC＝90°求出即可；

（2）利用圆周角定理以及平行线的性质，首先得出四边形COMN为矩形，进而求出BD=2MN；

（3）分别利用当CP=CB时，△PCB为等腰三角形，当BP=BC时，△PCB为等腰三角形，利用勾股定理求出即可.

试题解析：（1）证明：如图，连接MC，

∵⊙M与轴相切于点C，∴CM⊥OC，

∴∠MCO＝90°，

又∵∠ACD＝90°，

∴AD为⊙M的直径，

∵DM＝CM, ∠ACD＋∠ADC＝90°，

∴∠MCD＝∠MDC，

∵∠OCA＋∠ACM＝∠OCM＝90°，

∴∠MCD＋∠ACM＝90°，

∴∠OCA＝∠MCD＝∠MDC，

∵∠OCA＋∠OAC＝90°，

∴∠OAC＝∠CAD；

（2）【解析】
如图，过点M作MN⊥OB于点N，

由（1）可知，AD是⊙M的直径，

∴∠ABD=90°，

∵MN⊥AB, ∴∠MNA＝90°，

∴MN∥BD，

∴，

∵∠OCM＝∠CON＝∠MNO＝90°，

∴四边形COMN为矩形，

∴MN=CO=4，

∴BD=2MN=8；

（3）【解析】
抛物线的对称轴上存在点P，使ΔPBC是以BC为腰的等腰三角形．

在⊙M中，弧AC=弧AC，∴∠ADC＝∠ABC，

由（1）知，∠ADC＝∠OCA，

∴∠OCA＝∠OBC，

在Rt△CAO和Rt△BOC中，tan∠OCA＝，

∴tan∠OBC＝，

∴OB=2OC=8，

∴A（2，0），B（8，0），

∵抛物线经过A，B两点，

∴A，B关于抛物线的对称轴对称，其对称轴为直线：；

当CP=CB=5时，△PCB为等腰三角形，

在Rt△COB中，，

如图，在Rt△CM中，80－25＝55，

∴,

∴，

同理可求的坐标是，

当BP=BC=5时，△PCB为等腰三角形，，

∴，

同理可得坐标为，

∴符合条件的点P有四个，坐标分别为，，，．

考点：二次函数综合题.

考点分析： 考点1：二次函数 定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。 二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。 试题属性

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