Question

8．点O在△ABC的内部，点D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．
（1）如图1，求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如图2，射线AO交BC边于点H，连接DH，GH，若AB=AC，DE⊥EF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等腰三角形（不包含以∠BAC为内角的三角形）．

Answer 1

分析 （1）只要证明DG∥EF，DG=EF即可．
（2）首先证明AH垂直平分BC，得到△OBC，△OEF是等腰三角形，再根据直角三角形斜边中线性质得到△HGC，△HGA，△BDH，△DHA是等腰三角形．

解答 （1）证明：如图1中，

∵AD=DB，AG=GC，
∴DG∥BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，
∵OE=EB，OF=FC，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DG∥EF，EF=DG，
∴四边形DEFG是平行四边形．

（2）如图2中，

∵BD=DA，BE=EO，
∴DE∥AO，
∵EF∥BC，DE⊥EF，
∴DE⊥BC，
∴AH⊥BC，
∵AB=AC，
∴BH=HC，
∴OB=OC，OE=OF，
∴△OBC，△OEF是等腰三角形，
∵DH是RT△ABH斜边中线，
∴DH=BD=AD，
∴△BDH，△DHA是等腰三角形，同理△HGC，△HGA都是等腰三角形．
综上所述等腰三角形有△OBC，△OEF，△HGC，△HGA，△BDH，△DHA．

点评 本题考查三角形中位线性质，解题的关键是灵活应用三角形中位定理识解决问题，属于中考常考题型．