Question

16．如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，且OA=OB，边AC所在直线解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，若△ABC的内心在y轴上，则tan∠ACB的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 △ABO是等腰直角三角形，然后根据△ABC的内心在y轴上，则BO是∠ABC的平分线，△ABC是直角三角形，求得BC的解析式，进而求得BC的长，然后根据三角函数的定义求解．

解答 解：在y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$中，令y=0，则$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=0，解得x=1，
∵OA=OB，
∴B的坐标是（0，1），AB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，△OAB是等腰直角三角形．
∵△ABC的内心在y轴上，
∴∠ABC=2∠ABO=90°，即△ABC是直角三角形，
设BC的解析式是y=x+c，
则把（0，1）代入得c=1，
则BC的解析式是y=x+1，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
即C的坐标是（-3，-2）．
则BC=$\sqrt{{3}^{2}+（-2-1）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
则tanACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$．
故选B．

点评 本题考查了一次函数的性质以及三角形的内切圆，根据内心的性质说明△ABC是直角三角形是本题的关键．