Question

6．如图，已知正方形ABCD的边长为10，E在BC边上运动，取DE的中点G，EG绕点E顺时针旋转90°得EF，问CE长为多少时，A、C、F三点在一条直线上（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． $\frac{6}{5}$
• C． $\frac{10}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，连接AF．只要证明Rt△FNE∽Rt△ECD，利用相似比2：1解决问题．再证明△CNF是等腰直角三角形即可解决问题．

解答 解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，连接AF．
∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，
∴∠DEC=∠EFN，
∴Rt△FNE∽Rt△ECD，
∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，
∴两三角形相似比为1：2，
∴可以得到CE=2NF，NE=$\frac{1}{2}$CD=5．
∵AC平分正方形直角，
∴∠NFC=45°，
∴△CNF是等腰直角三角形，
∴CN=NF，
∴CE=$\frac{2}{3}$NE=$\frac{2}{3}$×5=$\frac{10}{3}$，
故选C．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是构造Rt△FNE∽Rt△ECD，求得△FCN是等腰直角三角形，然后根据相似三角形的性质求解．