Question

6．已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=3，CB=4，设P，Q分别为AB边，CB边上的动点，它们同时分别从A，C出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设P，Q运动的时间为t秒．
（1）求△CPQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并求出S的最大值．
（2）t为何值时，△CPQ为直角三角形．
（3）①探索：△CPQ是否可能为正三角形，说明理由．
②P，Q两点同时出发，若点P的运动速度不变，试改变点Q的运动速度，使△CPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值．

Answer 1

分析 （1）作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，根据勾股定理求出AB，用t表示出AD、PD，根据三角形的面积公式计算即可；
（2）根据勾股定理列出算式，求出t的值；
（3）①根据等边三角形的三线合一列式计算即可；
②设点Q的运动速度为a，根据等边三角形的性质列式求出a，根据等边三角形的性质、正切的概念计算即可．

解答 解：（1）作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，
∵∠ACB=90°，CA=3，CB=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵AP=t，
∴AD=$\frac{3}{5}$t，PD=$\frac{4}{5}$t，
∴PE=DC=3-$\frac{3}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$×t×（3-$\frac{3}{5}$t）=-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t，
∵S=-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t=-$\frac{3}{10}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{15}{8}$，
∴S的最大值为$\frac{15}{8}$；
（2）只有当PC²+PQ²=CQ²时，△CPQ为直角三角形，
∴（$\frac{4}{5}$t）²+（3-$\frac{3}{5}$t）²+（3-$\frac{3}{5}$t）²+（t-$\frac{4}{5}$t）²=t²，
解得，t₁=3，t₂=15（舍去），
∴当t=3时，△CPQ为直角三角形；
（3）①△CPQ不可能为正三角形，
理由如下：若△CPQ是正三角形，
则PC=PQ，EC=EQ，即t-$\frac{4}{5}$t=$\frac{4}{5}$t，
解得，t=0，
∴△CPQ不可能为正三角形；
②设点Q的运动速度为a，
当CE=EQ时，即$\frac{4}{5}$t=at-$\frac{4}{5}$t，
解得，a=$\frac{8}{5}$，
∵∠PCQ=60°，
∴PE=$\sqrt{3}$PD，
解得，t=$\frac{20\sqrt{3}-15}{13}$．

点评 本题考查的是直角三角形的性质、二次函数解析式的确定以及二次函数的性质的应用，掌握勾股定理、等边三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．