Question

11．已知：四边形ABCD中，AD=CD，对角线BD平分∠ADC，点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接EF，AF，AE．
（1）求证：AF=EF；
（2）求证：∠EAF=∠ABD．

Answer 1

分析 （1）由△ADF≌△CDF得AF=CF，又点F在线段EC的垂直平分线上得EF=C即可证明．
（2）先证明∠FEC=∠BAF得A、B、E、F四点共圆故∠EAF=∠EBH=∠ABD．

解答 （1）证明：如图，连接CF．
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
在△ADF和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADF=∠CDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDF，
∴AF=CF，
∵点F在线段EC的垂直平分线上，
∴EF=CF，
∴AF=EF．
（2）证明：∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB
在△ADB和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADB=∠CDB}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CDB，
∴∠ABD=∠CBD，AB=BC，
在△BAF和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABF=∠CBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFA≌△BFC，
∴∠BAF=∠BCF，
∵FE=FC，
∴∠FEC=∠FCE，
∴∠FEC=∠BAF，
∴A、B、E、F四点共圆，
∴∠EAF=∠EBH=∠ABD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、四点共圆等知识，充分利用三角形全等是解决问题的关键．