Question

4．如图，已知AC是⊙O的直径，∠ACB=60°，连结AB，过A、B两点分别作⊙O的切线，两切线交于点P，连接OP交AB于D．
（1）求证：OP∥BC；
（2）求证：AD²=OD•DP．

Answer 1

分析 （1）连接OB，根据切线的性质得到PA=PB，∠APO=∠BPO，根据等腰三角形的性质对对对OP垂直平分AB，于是得到结论；
（2）由PA是⊙O的切线，得到∠OAP=90°，根据余角的性质得到∠OAD=∠APD，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）连接OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO，
∴OP垂直平分AB，
∵AC是⊙O的直径，
∴AB⊥BC，
∴OP∥BC；
（2）∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠ADO=∠ADP=∠OAP=90°，
∴∠OAD+∠PAD=∠PAD+∠APD=90°，
∴∠OAD=∠APD，
∴△OAD∽△DAP，
∴$\frac{AD}{OD}=\frac{OP}{AD}$，
∴AD²=OD•DP．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．