题目内容
如图已知二次函数图象的顶点坐标为
，直线
的图象与该二次函数的图象交于
两点，其中
点坐标为
，
点在
轴上，直线与
轴的交点为
．
为线段
上的一个动点（点与不重合），过作轴的垂线与这个二次函数的图象交于
点．
（1）求
的值及这个二次函数的解析式；
（2）设线段
的长为
，点的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）
为直线与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段上是否存在点，使得以点
为顶点的三角形与
相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
解：（1）设抛物线解析式为
在抛物线上，
二次函数解析式为：
（或
）
令
得：
即
点在
上
把
代入
得
（2）
（3）假设存在点
，①当
时，由题意可得
，
则
，
，
舍去
而
，存在点，其坐标为
．
②当
时，
过点
作
垂直于抛物线的对称轴，垂足为
；
由题意可得：
则
，
（舍去）
而
，存在点，其坐标为
．
综上所述存在点满足条件，其坐标为
，
【解析】（1）根据二次函数的顶点坐标
，可设抛物线解析式为
（顶点式），把点
代入解析式即可求出
，根据求出点，由点和点求出直线即可
（2）由于
，则线段
的长等于一次函数减去二次函数值，点在线段
上，故
（3）以点
为顶点的三角形与
相似，由于字母没有对应，则需分情况讨论：
①，利用相似三角形对应边成比例，得到，注意
的取值范围，得到点 ②，同理可得，注意的取值范围，得到点
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