题目内容
如图已知二次函数图象的顶点为原点,直线的图象与该二次函数的图象交于A点(8,8),直线与x轴的交点为C,与y轴的交点为B.
(1)求这个二次函数的解析式与B点坐标;
(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点,与x轴交于点E.设线段PD的长为h,点P的横坐标为t,求h与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,在线段AB上是否存在点P,使得以点P、D、B为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1),(0,4);(2)(0<t<8);
(3)(,)或(2,5).
【解析】
试题分析:(1)先设二次函数的解析式为,把A点(8,8)代入即可求出这个二次函数的解析式,根据直线y轴的交点横坐标为0即可求出B点坐标;
(2)设P点在上且横坐标为t,得出P点的坐标为(t,),根据PD⊥x轴于E,用t表示出D和E的坐标,再根据PD=h,求出,最后根据P与AB不重合且在AB上,得出t的取值范围;
(3)先过点B作BF⊥PD于F,得出,BF=t,再根据勾股定理得出PB和BC的值,再假设△PBO∽△BOC,得出,即可求出t1和t2的值,从而求出P点的坐标.
(1)设二次函数的解析式为,
∵A点(8,8)在二次函数上,
∴,解得
∴
∵直线与y轴的交点为B,
∴B点坐标为(0,4).
(2)P点在上且横坐标为t,
∴P(t,),
∵PD⊥x轴于E,
∴D(t,),E(t,0),
∵PD=h,
∴
∵P与AB不重合且在AB上,
∴0<t<8.
(3)存在,
当BD⊥PE时,△PBD∽△BCO,
∵
∴
∴
∴
解得,(舍去)
∴P点的纵坐标是
此时P点的坐标是(,)
当DB⊥PC时,
△PBD∽△BCO,
过点B作BF⊥PD,
则F(t,4),
∴,BF=t,
根据勾股定理得
假设△PBO∽△BOC,
则有
解得,(舍去)
∴
此时P点的坐标是(2,5).
考点:二次函数的综合题
点评:在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式,利用数形结合思想解题是本题的关键.