Question

如图，在△ADC中，AD，BE分别为边BC，AC上的高，D，E为垂足，M为AB的中点，N为DE的中点，求证：
（1）△MDE是等腰三角形；
（2）MN⊥DE．

Answer 1

分析：（1）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证得ME=MD=

1

2

AB；
（2）由等腰三角形的“三合一”的性质证得结论．

解答：证明：（1）如图，在△ABD中，AD⊥BD，则△ABD是直角三角形，AB是斜边．
∵M是AB的中点，
∴MD=

1

2

AB．
同理，ME=

1

2

AB，
∴ME=MD，
∴△MDE是等腰三角形；

（2）由（1）知，△MDE是等腰三角形．
∵N是ED的中点，
∴MN平分DE，
∴MN⊥DE．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．