Question

已知，如图，在△ADC中，∠ADC=90°，∠A=60°，以DC为直径作半圆⊙O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，BF=FC．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AE=

3

，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OF，先根据三角形内角和定理计算出∠C=30°，再根据三角形外角性质得到∠BOF=∠C+∠OCF=60°，由BF=FC得到∠B=∠C=30°，则可计算出∠OFB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先证明△AEF是等边三角形，则EF=AE=

3

，再证明AD为⊙O切线，根据切线长定理得到EF=ED=

3

，所以AD=2

3

，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=

3

AD=6，即可得到⊙O的半径是3．

解答：（1）证明：连接OF，如图，
∵∠ADC=90°，∠A=60°
∴∠C=30°，
∵OC=OF，
∴∠C=∠OFC=30°，
∴∠BOF=∠C+∠OCF=60°，
∵BF=FC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠OFB=180°-∠B-∠BOF=90°，
∴OF⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AFE=∠B+∠C=60°，∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=

3

，
∵∠ADC=90°，即OD⊥AD，
∴ED与⊙O相切于D，
∴EF=ED=

3

，
∴AD=2

3

，
∴CD=

3

AD=6，
∴⊙O的半径是3．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了切线长定理和含30度的直角三角形三边的关系．