Question

已知，如图，在△ADC中，∠ADC=90°，以DC为直径作半圆⊙O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，∠BED=2∠C．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若BF=FC，AE=

3

，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）欲证BF是圆O的切线，只需证明OF⊥BF；
（2）根据角与角间的数量关系推知△AEF的等边三角形．所以易求AD=2

3

．则通过解直角△ADC来求直径CD的长度．

解答：（1）证明：连接OF．
∵∠OFB=180°-∠B-∠BOF=180°-∠B-2∠C=180°-∠B-∠BED=90°，
∴OF⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；

（2）解：∵BF=FC，
∴∠B=∠FCB，
∵∠BED=2∠C，
∴∠BDE+∠B=3∠C=90°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠AFE=60°，∠BED=60°，
∴△AEF是等边三角形，
则EF=AE=

3

．
∴AD=2

3

．
又∵∠C=30°，
∴CD=6，
∴⊙O的半径是3．

点评：本题考查了勾股定理、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．