Question

3．如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：
（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD．请直接写出S_△ABC与S_{四边形AFBD}的关系；
（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请给出证明；
（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sin∠CGF的值．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质以及三角形面积关系得出答案；
（2）利用平行四边形的判定得出四边形AFBD为平行四边形，进而得出AF=$\frac{1}{2}$BC=BF，求出答案；
（3）根据题意画出图形，利用sin∠CGF=$\frac{CF}{CG}$求出即可．

解答 解：（1）S_△ABC=S_{四边形AFBD}，
理由：由题意可得：AD∥EC，
则S_△ADF=S_△ABD，
故S_△ACF=S_△ADF=S_△ABD，
则S_△ABC=S_{四边形AFBD}；

（2）△ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°，
理由如下：∵F为BC的中点，
∴CF=BF，
∵CF=AD，
∴AD=BF，
又∵AD∥BF，
∴四边形AFBD为平行四边形，
∵AB=AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，
∴平行四边形AFBD为矩形，
∵∠BAC=90°，F为BC的中点，
∴AF=$\frac{1}{2}$BC=BF，
∴四边形AFBD为正方形；

（3）如图3所示：
由（2）知，△ABC为等腰直角三角形，AF⊥BC，
设CF=k，则GF=EF=CB=2k，
由勾股定理得：CG=$\sqrt{5}$k，
sin∠CGF=$\frac{CF}{CG}$=$\frac{k}{\sqrt{5}k}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 此题主要考查了正方形的判定以及等腰直角三角形的性质和锐角三角函数关系等知识，熟练应用正方形的判定方法是解题关键．