Question

2．把一根长80cm的铁丝分成两个部分，分别围成两个正方形．
（1）能否使所围的两个正方形的面积和为250cm²，并说明理由；
（2）能否使所围的两个正方形的面积和为180cm²，并说明理由；
（3）怎么分，使围成两个正方形的面积和最小？

Answer 1

分析 （1）设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为（20-x）cm，就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于250cm²建立方程求出其解即可；
（2）根据题意建立方程x²+（20-x）²=180，再判定该一元二次方程是否有解即可；
（3）设所围面积和为y cm²，则有y=x²+（20-x）²，再求二次函数最值即可．

解答 解：（1）设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为（20-x）cm，
由题意得：x²+（20-x）²=250，
解得x₁=5，x₂=15，
当x=5时，4x=20，4（20-x）=60，
当x=15时，4x=60，4（20-x）=20，
答：能，长度分别为20cm与60cm；

（2）x²+（20-x）²=180，
整理：x²-20x+110=0，
∵b²-4ac=400-440=-40＜0，
∴此方程无解，即不能围成两个正方形的面积和为180cm²；

（3）设所围面积和为y cm²，
y=x²+（20-x）²，
=2 x²-40x+400
=2（ x-10）²+200，
当x=10时，y最小为200.4x=40，4（20-x）=40，
答：分成40cm与40cm，使围成两个正方形的面积和最小为200 cm．

点评 本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，求二次函数最值的方法，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键．