Question

已知1-

1

2

=

1

2

，

1

2

-

1

3

=

1

6

，

1

3

-

1

4

=

1

12

，

1

4

-

1

5

=

1

20

…根据这些等式求值，
（1）计算

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

…+

1

49×50

的值；
（2）根据计算（1）发现的规律，试猜想

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

…+

1

49×50

…+

1

2008×2009

的值．

Answer 1

分析：从题中

1

1×2

=

1

1

-

1

2

=

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

=

1

6

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

=

1

12

可知

1

n

× 

1

n+1

=

1

n

- 

1

n+1

，从而求（1），（2）

解答：解：因为，

1

1×2

=

1

2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

6

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

12

=

1

3

-

1

4

，

1

49×50

=

1

49

-

1

50

（4分）
所以，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

49×50

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

48

-

1

49

+

1

49

-

1

50

（6分）
=1-

1

50

=

49

50

（8分）

（2）

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2009×2010

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-…-

1

2009

=1+（-

1

2

+

1

2

）+（-

1

3

+

1

3

）+（-

1

4

+

1

4

）-…-

1

2009

=1-

1

2009

=

2008

2009

（10分）

点评：本题考查学生对于数字变化规律型的题目要有一定总结和发现规律的能力．需要学生有一定的数学思想．