Question

已知1-

1

2

=

1

2

，

1

2

-

1

3

=

1

6

，

1

3

-

1

4

=

1

12

，…根据这些等式解答下列各题：
（1）求值：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

；
（2）化简

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

；
（3）用类似方法计算

1

1×3

+

1

3×5

+

1

7×9

+…+

1

2007×2009

．

Answer 1

分析：（1）根据已知等式可以把各分数分解为1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

5

-

1

6

，即可求出结果；
（2）和（1）的方法一样，把各分数分解为1-

1

2

+

1

2

-

1

3

…

1

n

-

1

n+1

，然后前后抵消即可求出结果；
（3）把各分数分解为

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2007

-

1

2009

），然后括号里面可以利用前面的方法计算．

解答：解：（1）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

5

-

1

6

=1-

1

6

=

5

6

；
（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（3）原式=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2007

-

1

2009

）=

1

2

（1-

1

2009

）=

1004

2009

．

点评：此题关键用到的知识点为：

1

mn

=

1

m-n

×（

1

n

-

1

m

）．