Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用尺在边BC上求作一点P，使PA=PB，并连接AP；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）当AC=3，AB=5时，△ACP的周长=7；
（3）当∠B为度时，AP平分∠CAB．

Answer 1

分析 （1）作AB的垂直平分线交BC于P点；
（2）先利用勾股定理计算出BC=4，然后利用PA=PB可得到△ACP的周长=AC+BC=7；
（3）利用PA=PB得到∠PAB=∠B，利用AP平分∠BAC得到∠CAP=∠BAP，则∠BAC=2∠B，然后根据三角形内角和可求出∠B的度数．

解答 解：（1）如图，点P为所作；

（2）在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵PA=PB，
∴△ACP的周长=AC+PC+AP=AC+CP+PB=AC+BC=3+4=7；
故答案为7；
（3）∵PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP=∠BAP，
∴∠BAC=2∠B，
∵∠BAC+∠B=90°，
∴∠B=30°，
即∠B为30度时，AP平分∠CAB．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．