Question

【题目】已知：直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，且交x轴于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上一点，且点P在AB的下方，设点P的横坐标为m．

①试求当m为何值时，△PAB的面积最大；

②当△PAB的面积最大时，过点P作x轴的垂线PD，垂足为点D，问在直线PD上否存在点Q，使△QBC为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的Q的坐标若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3；（2）①当m=3时，△PAB的面积最大，最大值是9，②在直线PD上否存在点Q（3，）或（3，﹣），使△QBC为直角三角形．

【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）①过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E，设点P的横坐标为m，则点P的坐标为（m， m2﹣m﹣3），点E的坐标为（m， m﹣3），进而可得出PE的长度，再利用三角形的面积公式即可得出S△PAB=﹣m2+6m，利用配方法即可解决最值问题；

②利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点Q的坐标为（3，y），则CQ2=（）2+y2，BC2=9+，BQ2=9+（y+3）2，分∠QCB=90°、∠CBQ=90°及∠CQB=90°三种情况，利用勾股定理即可得出关于y的方程，解之即可得出结论．

（1）∵直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A、B，

∴点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，﹣3）．

将A（6，0）、B（0，﹣3）代入y=x2+bx+c，得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3．

（2）①过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E，如图1所示．

设点P的横坐标为m，则点P的坐标为（m，m2﹣m﹣3），点E的坐标为（m，m﹣3），

∴PE=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+2m，

∴S△PAB=×PE×（AD+DO）=×（﹣m2+2m）×6=﹣m2+6m=﹣（m﹣3）2+9，

∴当m=3时，△PAB的面积最大，最大值是9．

②当y=0时，有x2﹣x﹣3=0，

解得：x1=﹣，x2=6，

∴点C的坐标为（﹣，0）．

设点Q的坐标为（3，y），

则CQ2=（）2+y2，BC2=9+，BQ2=9+（y+3）2．

当∠QCB=90°时，有CQ2+BC2=BQ2，

即（）2+y2+9+=9+（y+3）2，

解得：y=；

当∠CBQ=90°时，有BC2+BQ2=CQ2，

即9++9+（y+3）2=（）2+y2，

解得：y=﹣；

当∠CQB=90°时，有BQ2+CQ2=BC2，

即（）2+y2+9+（y+3）2=9+，

方程无解．

综上所示：在直线PD上否存在点Q（3，）或（3，﹣），使△QBC为直角三角形．