Question

如图，等腰直角△ABC腰长为a，现分别按图1，图2方式在△ABC内内接一个正方形ADFE和正方形PMNQ．设△ABC的面积为S，正方形ADFE的面积为S₁，正方形PMNQ的面积为S₂．

（1）在图1中，求AD：AB的值；在图2中，求AP：AB的值；
（2）比较S₁+S₂与S的大小．

Answer 1

分析：（1）图1：根据等腰三角形的性质求解；图2：同图1的证法；
（2）由（1）得出的AB、AD、AP、AB的关系，然后用a表示出AB、AD、AP的值，这样就能表示出S₁、S₂和S，然后进行比较即可．

解答：解：（1）图1中，∵AD=DF，∠B=45°，
∴DF=DB，
∴AD=DB，
∴AD：AB=1：2，
图2中，∵PM=MN，∠B=45°，
∴PM=MB，
∴MN=MB，
∴MN=MB=NC，
∴AP：AB=PQ：BC=MN：BC=1：3；

（2）图1中，S₁=（

1

2

a）²=

1

4

a2，
∵PQ：BC=AP：AB=1：3，
∴PQ=

2

3

a，
∴S₂=（

2

3

a）²=

2

9

a2，
∴S₁+S₂=（

1

4

+

2

9

）a²=

17

36

a2，
∵S=

1

2

a2=

18

36

a2，
∴S₁+S₂＜S．

点评：此题考查正方形的性质及直角三角形性质的应用．