Question

15．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAC=60°，AC=10．
（1）矩形的周长；
（2）求矩形的面积．

Answer 1

分析 （1）由矩形性质得出AD=BC，AB=CD，∠BAD=90°，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，BO=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，推出OA=OB=OC=OD，得出等边三角形AOB，求出BD，由勾股定理求出AD即可；
（2）由矩形的面积公式即可得出结果．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，BD=AC=10，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=5，BO=OD=$\frac{1}{2}$BD=5，
∴OA=OB=OC=OD，
∵∠BAC=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB=5，
∴OA=OB=AB=5，
∴BD=2OB=2，
在Rt△BAD中，AB=5，BD=10，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{B{D}^{2}-A{B}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=5，AD=BC=5$\sqrt{3}$，
∴矩形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=10+10$\sqrt{3}$；
（2）矩形的面积=AB×BC=5×5$\sqrt{3}$=25$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点；关键是求出AD的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．