Question

11．（1）如图①，AD是△ABC的中线，△ABD与△ACD的面积有怎样的数量关系？为什么？
（2）若三角形的面积记为S，例如：△ABC的面积记为S_△ABC，如图②，已知S_△ABC=1，△ABC的中线AD、CE相交于点O，求四边形BDOE的面积．
小华利用（1）的结论，解决了上述问题，解法如下：
连接BO，设S_△BEO=x，S_△BDO=y，
由（1）结论可得：S${\;}_{△BCE}={S}_{ABD}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}=\frac{1}{2}$，
                S_△BCO=2S_△BDO=2y，
                S_△BAO=2S_△BEO=2x．
则有$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{△BEO}+{S}_{△BCO}={S}_{△BCE}}\\{{S}_{△BAO}+{S}_{△BDO}={S}_{△BAD}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=\frac{1}{2}}\\{2x+y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
所以$x+y=\frac{1}{3}．即四边形BDOE面积为\frac{1}{3}$．
请仿照上面的方法，解决下列问题：
①如图③，已知S_△ABC=1，D、E是BC边上的三等分点，F、G是AB边上的三等分点，AD、CF交于点O，求四边形BDOF的面积．
②如图④，已知S_△ABC=1，D、E、F是BC边上的四等分点，G、H、I是AB边上的四等分点，AD、CG交于点O，则四边形BDOG的面积为$\frac{1}{10}$．

Answer 1

分析 （1）利用等底等高的三角形面积相等求解即可；
（2）①连接BO，设S_△BDO=x，S_△BGO=y，根据三角形间的面积关系列出方程组求解即可；
②连接BO，设S_△BDO=x，S_△BGO=y，根据三角形间的面积关系列出方程组求解即可．

解答 解：（1）S_△ABD=S_△ACD．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
又∵△ABD与△ACD高相等，
∴S_△ABD=S_△ACD．
（2）①如图3，连接BO，设S_△BFO=x，S_△BDO=y，

S_△BCF=S_△ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{3}$
S_△BCO=3S_△BDO=3y，
S_△BAO=3S_△BFO=3x．
则有$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{△BFO}+{S}_{△BCO}={S}_{△BCF}}\\{{S}_{△BDO}+{S}_{△BAO}={S}_{△ABD}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+3y=\frac{1}{3}}\\{y+3x=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
所以x+y=$\frac{1}{6}$，即四边形BDOF的面积为$\frac{1}{6}$；
②如图，连接BO，设S_△BDO=x，S_△BGO=y，

S_△BCG=S_△ABD=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$，
S_△BCO=4S_△BDO=4x，
S_△BAO=4S_△BGO=4y．
则有$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{△BDO}+{S}_{△AOB}={S}_{△ABD}}\\{{S}_{△BGO}+{S}_{△BCO}={S}_{△BCG}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+4y=\frac{1}{4}}\\{y+4x=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
所以x+y=$\frac{1}{10}$，即四边形BDOG的面积为$\frac{1}{10}$，
故答案为：$\frac{1}{10}$．

点评 本题主要考查了面积与等积变换，等底等高的三角形的面积相等等知识，解题的关键是正确分析三角形各部分之间的关系．