题目内容
6．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C．（1）若直线AB解析式为y=-2x+12，①求点C的坐标； ②求△OAC的面积；
（2）如图1，若OA=4，△OAC的面积为6，求直线AB的解析式；
（3）如图2，在（2）的条件下，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连结AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．
分析 （1）①联立两直线解析式，求出交点C坐标即可；②由直线y=-2x+12求出点A的坐标，确定出OA的长，高为C的纵坐标，求出三角形OAC面积即可；
（2）由OA的长，以及三角形OAC的面积，求出C的纵坐标，代入y=x确定出C横坐标，设直线AB解析式为y=kx+b，把A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AB解析式；
（3）由ON为角平分线，得到一对角相等，再由AB与ON垂直，得到一对直角相等，再由OE为公共边，利用ASA得到三角形AOE与三角形COE全等，利用全等三角形的对应边相等得到CE=AE，OA=OC，过C作CP垂直于OA，交OE于点Q，此时AQ+PQ最小，求出这个最小值即可．
解答 解：（1）①联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+12}\\{y=x}\end{array}\right.$，
消去y得：x=-2x+12，
解得：x=4，
把x=4代入得：y=4，
∴C（4，4）；
②对于直线AB解析式y=-2x+12，
令x=0，得到y=12；令y=0，得到x=6，
∴A（6，0），B（0，12），即OA=6，
则S△AOC=$\frac{1}{2}$OA•y点C纵坐标=12；
（2）∵OA=4，△AOC面积为6，
∴点C纵坐标为3，
把y=3代入y=x得：x=3，即C（3，3），
设直线AB解析式为y=kx+b，
把A（4，0），C（3，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{3k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：k=-3，b=12，
则直线AB解析式为y=-3x+12；
（3）∵OE平分∠AOC，OE⊥AC，
∴∠AOE=∠COE，∠AEO=∠CEO=90°，
在△AOE和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠COE}\\{OE=OE}\\{∠AEO=∠CEO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COE（ASA），
∴AE=CE，即点A与点C关于OE对称，OC=OA=4，
过C作CP⊥OA，交OE于点Q，此时AQ+PQ最小，如图所示，
∵C（3，3），即OP=CP=3，
∴（AQ+PQ）min=CQ+PQ=CP=3．
点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：两直线的交点坐标，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，对称的性质，以及一次函数的性质，熟练掌握运算法则与性质是解本题的关键．
如图，已知BD=CE，∠1=∠2，求证：AB=AC．
如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线DE，F为射线BD上一点，连接CF．
计算与化简：| A． | 2.1×105 | B． | 2.1×106 | C． | 21×105 | D． | 0.21×107 |