Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB，CP与AB交于点D，且PA=PB．
①求证：△APB是等腰直角三角形；
②设PA=m，PC=n，试用m、n的代数式表示△ABC的周长；
③试探索当边AC、BC的长度变化时，

DC

AC

+

DC

BC

的值是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，试说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）过P作PEPE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，易证四边形PECF为正方形，进一步可证得Rt△APE≌Rt△BPF，可得出结论；
（2）利用勾股定理求得AB，利用（1）可得出AE=BF，从而可表示出△ABC的周长为2CE，再用n表示出CE即可求得其周长；
（3）利用△ADC≌△PDB、△ADP≌△CDB，代入计算，

DC

AC

+

DC

BC

即可．

解答：（1）证明：如图，过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，

∴∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∵PC平分∠ACB，
∴∠PCE=45°，
∴PE=EC，
∴四边形PECF为正方形，
∴EP=FP，∠EPF=90°，
在Rt△APE和Rt△BPF中，

EP=FP PA=PB

，
∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），
∴∠EPA=∠FPB，
∴∠APB=90°，
∴△APB是等腰直角三角形；
（2）解：∵PA=m，
∴AB=

2

m，
由Rt△APE≌Rt△BPF可得AE=BF，
∴AC+BC=AE+EC+BC=EC+CF=2EC=2nsin45°=

2

n，
∴△ABC的周长=

2

m+

2

n；
（3）解：不变，理由如下：
由上可得△ADC≌△PDB、△ADP≌△CDB，
∴

DC

DB

=

AC

PB

，

DC

AD

=

BC

AP

，
∴

DC

AC

=

DB

PB

，

DC

BC

=

AD

AP

，
∵AP=PB，
∴

DC

AC

+

DC

BC

=

AB

AP

=

2

．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质及正方形的判定和性质、等腰直角三角形的判定等，构造三角形全等是解题的关键．