Question

    如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶        点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）“抛物线三角形”一定是           三角形；

（2）若抛物线的“抛物线三角形”是直角三角形，求的值；

（3）若抛物线与x轴交与原点O和点B，抛物线的顶点坐标为A,△是的“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

Answer 1

 (1)“抛物线三角形”一定是   等腰           三角形； ……………………1分        

（2）（图略）

∵的“抛物线三角形”是直角三角形，

∴此“物线三角形”是等腰直角三角形，抛物线的顶点坐标为（b，），
把y=0代入得解得x=0或b

根据题意得=

∴b=0或2（0舍去）

∴b=2                        ……………………3分

（3）存在．

当b＜0时，作AH⊥OB于H点，如图，
把y=0代入y=x²+bx得解得x₁=0，x₂=-b′，
∴B点坐标为（-b′，0），

∴A点坐标为（）

∵矩形ABCD以原点O为对称中心，
∴OA=OB=OC=OD，
∴△OAB为等边三角形，
∴AH=

解得b₁′=0,b₂

∴A点坐标为（，-3），B点坐标为（，0）
∴C点坐标为（），D点坐标为（

设过O、C、D三点的抛物线的解析式为y=ax（x-2），
把C（，3）代入得a=-1，
∴所求抛物线的表达式为y=-x²+2……………………5分

同理，当b＞0时，y=-x²-2    ……………………3分