Question

14．在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，连接AD．
（1）如图1，求证：CD=BD；
（2）如图2，设⊙O交AC边于点E，过D点作DG⊥AB，垂足为点G，交⊙O于点F，连接DE、EF，求证：∠DEC=∠AEF；
（3）在（2）的条件下，若tan∠CED=$\frac{4}{3}$，OG=$\frac{7}{6}$，求△AED的面积．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，然后由AB=AC，根据三线合一的性质，可证得CD=BD；
（2）由DG⊥AB，可得$\widehat{AF}$=$\widehat{AD}$，即可得∠ABD=∠AEF，继而证得结论；
（3）首先连接OD，易求得tan∠ADF=$\frac{AG}{DG}$=$\frac{4}{3}$，再设AG=4x，DG=3x，在Rt△ODG中，可得（$\frac{7}{6}$）²+（3x）²=（4x-$\frac{7}{6}$）²，即可求得AG，DG的长，然后再过点D作DH⊥CE于点H，求得AE的长，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴CD=BD；

（2）证明：∵AB⊥DF，
∴$\widehat{AF}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ABD=∠AEF，
∴∠ABD+∠AED=180°，∠DEC+∠AED=180°，
∴∠DEC=∠ABD=∠AEF；

（3）连接OD，
由（2）知，∠DEC=∠AEF，
∵∠AEF=∠ADF，
∴∠DEC=∠ADF，
∴tan∠ADF=tan∠DEC=$\frac{4}{3}$，
∵AB⊥DG，
∴tan∠ADF=$\frac{AG}{DG}$=$\frac{4}{3}$，
设AG=4x，DG=3x，
∵OG=$\frac{7}{6}$，
∴OD=OA=4x-$\frac{7}{6}$，
在Rt△ODG中，（$\frac{7}{6}$）²+（3x）²=（4x-$\frac{7}{6}$）²，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∴AG=$\frac{16}{3}$，DG=4，
过点D作DH⊥CE于点H，
由（1）可知：AD平分∠BAC，
∴DH=DG=4，AH=AG=$\frac{16}{3}$，
∵tan∠EDC=$\frac{4}{3}$，
∴EH=3，
∴AE=$\frac{16}{3}$-3=$\frac{7}{3}$，
∴S_△AED=$\frac{1}{2}$AE•DH=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{3}$×4=$\frac{14}{3}$．

点评 此题属于圆的综合题．考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及锐角三角函数的知识．注意准确作出辅助线、掌握方程思想的应用是解此题的关键．