Question

【题目】如图，四边形为正方形.在边上取一点，连接，使.

（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点、为圆心，长为半径作弧交正方形内部于点，连接并延长交边于点，则；

（2）在前面的条件下，取中点，过点的直线分别交边、于点、.

①当时，求证：；

②当时，延长，交于点，猜想与的数量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）①见解析；②数量关系为：或．理由见解析；

【解析】

（1）按照题意，尺规作图即可；

（2）连接PE，先证明PQ垂直平分BE，得到PB=PE，再证明，得到，利用在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，即可解答；

（3）NQ=2MQ或NQ=MQ，分两种情况讨论，作辅助线，证明，即可解答.

（1）如图1，分别以点、为圆心，长为半径作弧交正方形内部于点，连接并延长交边于点；

图1

（2）①连接，如图2，

图2

点是的中点，

垂直平分．

，

，

，

，

，

，

．

②数量关系为：或．

理由如下，分两种情况：

I、如图3所示，过点作于点交于点，则．

图3

正方形中，，

．

在和中，

．

．

又，

，

．．

．

Ⅱ、如图4所示，过点作于点交于点，则．

图4

同理可证．

此时．

又，．

．

，．